Question

下面这个题啊

1的三次方+2的三次方=9=¼一×四×9=¼×2的三次方×3的三次方。。。
若n为正整数，试猜想1的三次方+2的三次方+3的三次方+...+n的三次方等于多少？并利用此式比较1的三次方+2的三次方+3的三次方+...+100的三次方与（-5000）的二次方的大小。

Answer 1

　　若n为正整数，试猜想1的三次方+2的三次方+3的三次方+...+n的三次方等于多少？

　　(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
　　同理可递推：
　　n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
　　(n-1)^4-(n-2)^4=4(n-2)^3+6(n-2)^2+4(n-2)+1
　　........
　　2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
　　将上面所有式子相加，中间项全部消去，得
　　(n+1)^4-1=4(1的三次+2的三次+...+n的三次)+6(1的平方+2的平方+...+n的平方)+4(1+2+...+n)+n

　　其中：1的平方+2的平方+...+n的平方=（1/3）*n(n+1)(2n+1)

　　解得：
　　1的3次方+2的3次方+3的3次方+…+n的3次方
　　=(1/4)*(n-1)²*n²

　　利用此式比较1的三次方+2的三次方+3的三次方+...+100的三次方与（-5000）的二次方的大小。

　　1的3次方+2的3次方+3的3次方+…+100的3次方
　　=(1/4)*99²*100²
　　=(1/4)*99*(100-1)*100²
　　=(1/4)*（99*100-99）*100*100
　　=(1/4)*98010000
　　=24502500
　　<（-5000)²=25000000.