为什么等值面上一点梯度是这点关于等值面 垂线方向上的方向导数。
1个回答
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所谓某点梯度的大小是指那一点的方向导数的最大值；
任意个方向的方向导数可以表示为： Df/Dl=(Df/Dn)cosα+(Df/Dt)sinα；
其中，Df/Dn为等值面垂线上的方向导数，Df/Dt为等值面切线上的方向导数（易知由于沿切线f不变，Df/Dt=0），α为n和l的夹角；
则：Df/Dl=(Df/Dn)cosα；所以当α=0时Df/Dl最大，为Df/Dn，即函数梯度大小=Df/Dn。
任意个方向的方向导数可以表示为： Df/Dl=(Df/Dn)cosα+(Df/Dt)sinα；
其中，Df/Dn为等值面垂线上的方向导数，Df/Dt为等值面切线上的方向导数（易知由于沿切线f不变，Df/Dt=0），α为n和l的夹角；
则：Df/Dl=(Df/Dn)cosα；所以当α=0时Df/Dl最大，为Df/Dn，即函数梯度大小=Df/Dn。
追问
如何判定，证明一个标量函数一定有等值面存在呢
追答
不是所有函数都有等值面，连续函数的话基本是有的，因为连续函数的性质保证了其局部变化总不是太大；
由于梯度存在就可以推出等值面存在，所以要确定等值面是否存在可以倒回去看梯度是否存在····
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