Question

已知函数f(x)=x²-2kx+k+1,若函数f(x)在区间[1,2]上有最小值-5，求实数k的值

Answer 1

由于不知道该函数在区间[1,2]上的增减情况，不妨分三种情况考虑。
1、当对称轴在x=1,x=2之间，这个是最好排雀盯除的，因为此时的最小值即为抛物线最低点的纵坐标，而最小值f(k)=-5，k=3或-2不符题意。
2、当对称轴在x=1处及左侧，即k≤1,此时函数在区间[1,2]上纤备单调递增，最小值在左端点处取到，即f(1)=1-2k+k+1=-5，顷竖和解得k=7.但由于前提是k≤1,故亦不合题意。
3、当对称轴在x=2处及右侧，即k≥2,此时函数在区间[1,2]上单调递减，最小值在右端点处取到，即f(2)=4-4k+k+1=-5，解得k=10/3
综上，k的值为10/3

Answer 2

配方f(x)=x²-2kx+k+1=(x-k)^2-(k^2-k-1)
若k属于[1,2] 则最小值是-(k^2-k-1)=-5
解出饥含k=3或-2显然不者烂满首肢漏足k属于[1,2]
故k不属于[1,2]
所以最值应该是f(1)或f(2)
f(1)=2-k
f(2)=5-3k
同上法
若在f(1)=2-k=-5 k=7 而f(2)=5-3k=-16 不满足
故有f(2)=5-3k=-5 k=10/3（不属于[1,2]）
而 f(1)=2-k=-4/3 满足
所以k=10/3

Answer 3

函数蚂竖对称轴是x=k
1.k小于1，则函数在区间单调递增，历轮f(1)=1-2k+k+1=-5,k=7，舍
2.1小于等于k小于2，取k时最小，闷烂大f（k）=k^2-2k^2+k+1=-5,k=3,-2,均舍
3.k大于等于2，单调递减，f(2)=4-4k+k+1=-5，k-10/3

Answer 4

k=10/3.
函数f(x)=x²-2kx+k+1=(x-k)²-k²+k+1,抛物线的对称轴为x=k.
分别讨论k<1和1<k<2和k>2时,函数取最小值灶敏的情况,最虚卜后发现只有k>2时,才有可能,而另外的2种情况所得的k都和范围差辩穗矛盾.所以应该有k=10/3.