Question

用二次函数换元法解 y=2x+√2-√x 用分离常数法解 y=x²-x/x²-x+2

Answer 1

1.是求y=2x+√2-√x 的值域吧？
解：令t=√x，则t≥0，
y=2t² -t +√2= 2(t-1/4)²+√2 -1/8
∵t≥0，∴ y∈[√2 -1/8，+∞)
2.是这样的吧？y=(x²-x)/(x²-x+2)
解：y=(x²-x)/(x²-x+2)=[(x²-x+2) -2]/(x²-x+2)=1 - 2/(x²-x+2)
而x²-x+2=(x-1/2)²+ 7/4≥7/4
∴0<2/(x²-x+2)≤8/7，即 - 8/7≤- 2/(x²-x+2)<0
则 -1/7≤1 - 2/(x²-x+2)<1，即y∈[-1/7，1）

Answer 2

解：（1）设√x=t(t≥0)，则x=t²，y=2t²-t+√2=2(t-1/4)²+√2-1/8≥√2-1/8，
当且仅当t=1/4时，等号成立，所以函数的值域是[√2-1/8,+∞).
(2)y=[(x²-x+2)-2]/(x²-x+2)=1-2/(x²-x+2)=1-2/[(x-1/2)²+7/4]，
因为(x-1/2)²+7/4≥7/4，所以0<1/[(x-1/2)²+7/4]≤4/7，-8/7≤-2/[(x-1/2)²+7/4]<0，
所以-1/7≤y<1，即函数的值域是[-1/7,1).

Answer 3

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