Question

已知函数fx的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x) 求使f(x)=-1/2在[0，2010]上的所有x的个数

Answer 1

解：函数fx的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)，则有f(x+2+2)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)，即f(x)=f(x+4)，
所以f(x)是以4为周期的函数，2010/4=502余2，则若f(x)在[0，2]上有f(x)=-1/2，使f(x)=-1/2在[0，2010]上的所有x的个数是502 ；若f(x)在(2，4]上有f(x)=-1/2，使f(x)=-1/2在[0，2010]上的所有x的个数是501

Answer 2

∵f(x+2)=-f(x)
∴f(x)=-f(x+2)
∴f(x+2)=-f(x+4)
∴-f(x)=-f(x+4)
即f(x)=f(x+4)
∴f(x)是以4为周期的周期函数
又∵2010÷4=502……2
∴使f(x)=-1/2在[0，2010]上的所有x的个数为502或503个