Question

已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1

Answer 1

分析：求导之后主要就是判断极值符号，我们看f'(x)是个分式，分母为x,注意定义域为（0，+∞），说明分母恒大于0，那么只需判断分子符号就行了，为方便起见我这里设g（x）=2ax^2+a+1，下面具体分析：
（1）a=0,g(x)=1>0
（2）a≠0时，g(x)=2a【x^2+（a+1）/(2a)】,现在只需考虑中括号里符号就行了，亦即考虑（a+1）/(2a)是正是负，这里我们可以在草稿纸上算下，若为正数，x^2+（a+1）/(2a)必为正数，a≠0无外乎a>0与a<0两种，这样g(x)=2a【x^2+（a+1）/(2a)】符号也能确定，那么f'(x)符号也就确定了。反之，若（a+1）/(2a)是负数，则x^2+（a+1）/(2a)可以看成是一个平方差公式，后面计算就简单了。
综合下：所以说，为什么考虑-1这个点，就是（a+1）/(2a)的正负决定的，光考虑a>0,a<0不满足充要性，具体情况具体分析，如果只有2次项是关于a的二次函数，你可以只考虑a的正负，但后面一次项、常数项也与a有关，那就得具体分析了。

PS：OVER。。。

Answer 2

解答：
a≥0, a<0不够确切
因为 f'(x)=(2ax²+a+1)/x
解不等式时，a<0时，需要考虑a+1的正负，
如果a+1<0, 则分子恒负
如果a+1>0,则分子的正负不定。

Answer 3

注意到如果函数f(x)=lnx+x2+1，那么它就是一个递增函数，所以其实f(x)的单调区间是受系数（a+1）和a影响的，二者均可＞0，=0或＜0，综合起来就是题目里的情况。

Answer 4

这里是因为，第一步里的 f‘（x）=2ax+ （a+1）/x分解一下， 当a在-1以下的时候 前面一项小于0， 同时后面一项也小于0，于是可以有f’（x）小于0。
然后在考虑（-1,0）之间的情况，若是只用0来分类讨论a 那么a<0时是没有办法得到f（x）的导数是恒小于0的。

望采纳哦~~^-^

Answer 5

a=0和a=-1这两个特殊点是从 f(x)中找出来的。

a=0时ax^2=0，f(x)=(a+1)lnx+1，有可能为负数；

a=-1时(a+1)lnx=0，f(x)=ax^2+1，必定为非负数。