Question

关于公考里容斥原理问题的疑惑

昨天下午在复习容斥原理，这部分一直是搞的不太清楚的地方。A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C，这个是大家都熟知的容斥原理公式，很多题可以用这个算，但是我发现还有很多题用这个公式算不出来，如这道题： 某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中8中产品的低温度不合格，10种产品的可溶物不合格，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的产品有7项，有一种产品这三项都不合格，则三项全部合格的产品有多少个？ 我的想法是，要求全部合格的，那么只要求出至少有一项不合格的，然后用总数52减就可以了。于是我便套入公式，8+10+9-7+1=21，然后52-21=31，但是看书上解析却不是用这个答案，而是8+10+9-7-2*1=18，然后52-18=34.这种解法我可以理解，遇到类似的题我也会做了，但是我始终想不通的是，为什么没法用公式算出来？公式里面最后是 加上A∩B∩C,而有时却是要减去2*A∩B∩C。至于用画图法，或者W=X+Y+Z，A+B+C=X+2Y+3Z这样的方法我也看了，其实大部分题我还是能算出来，但是就是搞不清A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C这个公式到底什么时候能用，什么时候不能用，我实在是搞不清了，希望大家指点我一下。

Answer 1

你在套用公式的时候：8+10+9-7+1=21。式子的7，并不等于A∩B + B∩C + C∩A。既然你理解画图法，你可以用画图法辅助你理解。画图可以明显发现，A∩B + B∩C + C∩A，是有重叠的部分的；而题中的“同时两项不合格的产品有7项”，已经帮你把重叠的部分去掉的。
套用公式，记住，如果你还不能熟练变通的话，就一定要严格套用。意思就是说，只在题目中A∩B 、 B∩C 、 C∩A全部出现的时候，你用这个公式，那就不会出错了。

Answer 2

太复杂了，不会