Question

高阶线性微分方程怎么解？

能简单有条理的说一下吗？

Answer 1

1、

型的微分方程

形如

 

的方程，这类方程只要逐次积分n次就可以得到其通解，每积分一次得到一个任意常数，在通解中含有n个任意常数。

2、y'=f（x，y'）型的微分方程

形如y'=f（x，y'）型的方程，这类方程的特点是右端函数不显含未知函数y。如果设y'=p，则y''=dp/dx=p'，微分方程变为p'=f（x，p），这是一个关于变量x，p的一阶微分方程。

设其通解为p=φ（x，C1），由于p=dy/dx，因此又得到一个一阶微分方程dy/dx=φ（x，C1）,两边积分，便得到方程式y'=f（x,y'） 的通解为

3、y''=f（y，y'）型的微分方程

形如y''=f（y，y'） 型的方程，这类方程的特点是右端函数不显含自变量x。

设y'=p，这时可以将y看作新的自变量，p作为y的函数，则有

于是微分方程就变为

 

这是一个关于变量y，p的一阶微分方程，设它的通解为p=φ（x，C1），即y'=φ（y，C1）， 将方程分离变量并积分，便得到y''=f（y，y'）的通解为

扩展资料

二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。

二阶微分：若dy=f'(x)dx可微时，称它的微分d（dy）为y的二阶微分，当二阶微分可微时，称它的微分为三阶微分，一般的，当y的n-1阶微分可微时，称它的微分为n阶微分。

二阶微分：

若dy=f'（x）dx可微时，称它的微分d（dy）为y的二阶微分，记为d²y，当d²y可微时，称它的微分d（d²y）为y的三阶微分，记为d³y，一般地，当y的n-1阶微分dⁿ⁻¹y 可微时，称n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作dⁿy。

参考资料来源：百度百科-高阶微分

参考资料来源：百度百科-高阶微分方程

Answer 2

　　要解高阶线性微分方程并不是很难，关键是要掌握一些方法，多练多熟，熟能生巧，以下是关于一些常用的高阶线性微分方程的解法，如图（仅供参考），只要灵活运用，解答高阶线性微分方程就会很容易了的。

　　

Answer 3

在线性电路系统，n阶微分方程一般化为n元一阶微分方程组来求解 (状态变量法)。
状态方程 dX/dt＝AX＋Be，微分方程组；
输出方程 Y＝CX＋De，代数方程。
A B C D为矩阵，A为系统主矩阵，Ⅹ为各状态变量排成的列向量，e为各电源Us和Ⅰs排成的列向量。求解低阶微分方程时，转为微分方程组并不显示优势，有时反显得麻烦。对于复杂电路大型微分方程组则表现很多优势。①前者只适应单输入、单输出( I/O )情形；后者适用于多输入多输出情形 (MIMO)。②能计算到电路系统内每个元件或网络电流与电压，以防止系统内发生电压电流∞，防止电路进入非线性区，防止电路被烧坏。③ 对线性电路系统主矩阵A可求特征值，由此判定系统的稳定性。④ 方程组描述的线性系统满足可控制性。对系统加一个激励信号，使系统从一工作状态转为另一工作状态，这就对系统实现了控制。矩阵A、B决定的控制矩阵Mc，Mc可判定系统是否可控，Mc可逆(或满秩)时系统即可控。⑤方程组描述的线性系统满足可观测性。只有能够观测的系统才能控制它的运行状态。矩阵A、C决定的观测矩阵Mo，Mo可判定系统是否可观测，Mo满秩时系统可观测。⑥求解线性微分方程组，特别适合编写程序交计算机完成，一般采用数值解法。⑦教科书提供求解公式为。

▲第一项为【0输入】响应 ~ (无输入电源、有初始储能)。X(0) 是0输入时系统的 初始值 (初始电压、电流)；

▲第二项为【0初态】响应 ~ (无初始储能、有输入电源)。 u(t) → u(τ)是电源Us及Is排成的列向量，即前面用字母e表示的电源向量。

Answer 4

1. 欧拉待定指数函数法：此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。

2. 比较系数法：用于求常系数非齐次线性微分方程的特解.

3. 常数变易法：只要知道对应的齐次线性微分方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐次线性微分方程的基本解组.

 除以上方法外，常用的还有拉普拉斯变换法，用拉普拉斯变换法则首先将线性微分方程转换成复变数的代数方程，再由拉普拉斯变换表或反变换公式求出微分方程的解。求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法，它的思想和待定系数法（或比较系数法） 有类似之处，所不同的是幂级数解法待定的是级数的系数，所以计算量相对较大.

Answer 5

最简单的办法是拉普拉斯变换的方法，（一句两句说不清楚，你可以网上查拉氏变换的有关资料）。

其次是吧n阶微分方程，转换为n个一阶微分方程组，用矩阵方法求解。

当然还可以直接用微分算子求解。

追问

听不明白~~

追答

我提供一个方法思路，你去看看网上有关资料。
别做懒孩子。