Question

已知数列{an}满足a1=1且an=1/3an-1+(1/3)^n(n大于等于2，且n属于N*）则数列(an)的通项公式为

已知数列{an}满足a1=1且an=(1/3)an-1+(1/3)^n(n大于等于2，且n属于N*）则数列(an)的通项公式为

Answer 1

解：
an=(1/3)a(n-1)+(1/3)n，等式两边同除(1/3) n
an/(1/3)n=a(n-1)/(1/3)(n-1)+1，
an/(1/3)n－a(n-1)/(1/3)(n-1)=1
a2/(1/3)2－a(2-1)/(1/3)(2-1)=3（n=2首项）
又a1/(1/3)=3。
所以，数列{an/(1/3)n}是首项为3、公差为1的等差数列，即an/(1/3)n=3+n-1=n+2。
所以，an=(n+2)×(1/3)n，其中n是正整数。

Answer 2

构建新数列{an -- Bn(1/3^n)}
an -- Bn(1/3^n)=1/3[an-1 -- B(n-1)1/3^(n-1)]
整理得：an=(1/3)an+B(1/3)^n
结合an=1/3an-1+(1/3)^n
知道B=1
综上{an -- n(1/3^n)}是等比数列
an=(1-1/3)(1/3)^n-1 + n(1/3^n)
an=(n+2) 乘以（1/3)^n (注：^n代表n次方)
而a1=1满足此式。最后总结：an=(n+2)（1/3)^n
楼主明白了吗，类似的就要构造新数列呀

Answer 3

an=(1/3)an-1+(1/3)^n
(1/3)an-1=(1/3)^2an-2+(1/3)^n
(1/3)^2an-2=(1/3)^3an-3+(1/3)^n
……
把所以式子相加，得
an=(1/3)^（n-1）a1+（(1/3)^n）*（n-1）=(1/3)^(n-1)+((1/3)^n)*(n-1)