Question

已知函数f x=(1-2ax²)/(x+b)(a≠0),是定义域上的奇函数

Answer 1

1、∵函数是定义域内的奇函数
∴f(-x)=-f(x)
即[1+2a(-x)²]/(-x+b)=-(1+2ax²)/(x+b)
则-x+b=-x-b
即b=0
又∵函数图像过（1，3）点
∴1+2a=3
即a=1
2、函数解析式为f(x)=(1+2x²)/x=1/x+2x
①、当x>0时，1/x+2x≥2√2x*1/x=2√2
当且仅当1/x=2x时，即x=√2/2时等号成立
②、当x<0时，1/x+2x=-(-1/x-2x)≤-2√[(-1/x)*(2x)]=-2√2
当且仅当1/x=2x时，即x=-√2/2时等号成立
∴函数f(x)的值域为(负无穷，-2√2]∪[2√2，正无穷)

Answer 2

f(x)=(1+2ax²)/(x+b)
(1)f(-x)=[1+2a(-x)²]/(-x+b)=(1+2ax²)/(-x+b)
因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)
即(1+2ax²)/(x+b)=-(1+2ax²)/(-x+b)
所以x+b=-(-x+b)=x-b，所以b=-b，那么b=0
于是f(x)=(1+2ax²)/x，那么f(1)=1+2a=3，所以a=1
所以f(x)=(1+2x²)/x=2x+(1/x) (x≠0)
(2)这个是个双钩函数，当x>0时，2x+(1/x)≥2√[2x×(1/x)]=2√2
当x<0时，2x+(1/x)=-[(-2x)+(-1/x)]≤-2√[(-2x)×(-1/x)]=-2√2
所以f(x)的值域为(-∞，-2√2]∪[2√2，+∞)

Answer 3

f(1)=3,因为函数为奇函数，所以f（-1）=—f（1）=—3
所以，（1+2a）/(1+b)=3;（1+2a）/(1-b)=—3;
a=1,b=0;
f(x)=(1+2x²)/x=1/x+2x,此时函数的定义域为x不等于0，当x>0，1/x与2x同号，所以可以用均值不等式计算值域
f(x)=(1+2x²)/x=1/x+2x=>2 倍根号下1/x乘以2x=2倍根号下2
同理，当x<0,—f（x）=—1/x—2x，同理，均值不等式，—f（x）=>2倍根号下2,所以f（x）<=—2倍根号下2 ，当且仅当2x=1/x时，不等式取等号，此时当x大于0，x=根号2/2,当x小于0，x=—根号2/2,

Answer 4

1.f(x)为奇函数--->f(x)=-f(-x)
2.f(x)经过(1,3)--->f(1)=3
3.f(x)定义在x不等于0上--->因为x+b不等于0，所以b不等于0
联立前两个方程，解出来的结果满足第3条就行了。自己做做吧。不过，2、3条件不完整，应该这样吧

Answer 5

（1）f(-x)=(1+2ax^2)/(b-x)=-f(x)=-(1+2ax^2)/(x+b)
(1+2ax^2)[1/(b-x)+1/(x+b)]=0
2b/(b-x)(x+b)=0
b=0
f(x)=1/x+2ax
f(1)=1+2a=3
a=1
所以a=1 b=0
（2）f(x)=1/x+2x
f(x)>=2√2或f(x)<=-2√2