Question

a是A的特征向量，证明a也是A*的特征向量？

Answer 1

若a是属于A的非零特征值对应的特征向量，则a是A*的特征向量。
证明：设Aa=ka，k是非零特征值，则等式两边都左乘A*，
利用A*A=det(A)E得
det(A)a=kA*a，于是
A*a=det(A)/k*a，即a是属于det(A)/k的特征向量。
若a是属于A的零特征值对应的特征向量，即Aa=0，
此时A必不可逆，利用结论：
当r(A)=n-1时，r(A*)=1，由于AA*=0，
于是A*的列向量都是Ax=0的解，且Ax=0的基础解系只有一个无关向量，即为a，
因此A*的列向量都是a的倍数，即A*=ab^T，其中b是某个列向量，
A*a=ab^Ta=(b^Ta)a=ka，k=b^Ta，即a是A*的特征向量。
当r(A)<=n-2时，r(A*)=0，A*=0，
此时a当然是A*的特征向量了。

Answer 2

从a与a*关系出发