Question

设三角形ABC的内角ABC所对的边分别为abc，且acosB-bcosA=1/2c

设三角形ABC的内角ABC所对的边分别为abc，且acosB-bcosA=1/2c,求tan（A-B）的最大值

Answer 1

(1)
∵acosB-bcosA=1/2c/
∴2R×sinAcosB-2R×sinBcosA=2R*sinC×1/2(正弦定理)
∴sinAcosB-sinBcosA=1/2sinC
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sin[π-(A+B)]
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sin(A+B)
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB
∴sinAcosB=3sinBcosA
∴tanAcotB=3
(2)
∵tanAcotB=3
∴cotB=3/tanA
∴tanB=1/cotB=tanA/3
∵tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA×tanB)
∴tan(A-B)=(tanA-tanA/3)/(1+tanA×tanA/3)
∴tan(A-B)=(2tanA/3)/(1+tan²A/3)
∴tan(A-B)=2tanA/(3+tan²A)
∴tan(A-B)=2/(3/tanA+tanA)≤√3/3(均值定理)
当且仅当3/tanA=tanA，即tanA=√3时，等号成立，等式tan(A-B)取得最大值√3/3.

Answer 2

acosB-bcosA=（1/2）c，由正弦定理，
sinAcosB-sinBcosA=(1/2)sinC,
∴sin(A-B)=(1/2)sinC,
设t=(1/2)sinC,则t∈(0,1/2],
cos(A-B)=土√(1-t^2),
tan(A-B)=t/√(1-t^2),↑(不考虑tan(A-B)=-t/√(1-t^2)），
当t=1/2时C=90°，A+B=90°，A-B=30°，A=60°，B=30°，
tan(A-B)取最大值√3/3.