Question

如图，求该级数的敛散性？谢谢

Answer 1

首先，这个级数的n应该从2开始，因为n=0,1时，1/nlnn无定义
对于正项级数∑(n=2,∞) 1/(n*lnn)
根据Cauchy积分判别法：
该级数的敛散性与无穷积分∫(2,+∞) 1/(x*lnx) dx的敛散性相同
∫(2,+∞) 1/(x*lnx) dx
=∫(2,+∞) 1/(lnx) d(lnx)
=ln(lnx) | (2,+∞)
明显，
∫(2,+∞) 1/(x*lnx) dx发散
因此，
∑(n=2,∞) 1/(n*lnn)发散
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谢谢大师，真棒，好严谨啊，我确实写错了，嗯，意思我明白了！
还有一个问题，期待你来回答一下
http://zhidao.baidu.com/question/481198603.html?quesup2&sort=6

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这个题，是要讨论的……
我的结论和第一个回答的那个14级的差不多~~
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我想问问，这个题，除了用“柯西积分判别法”证明以外，还有不有别的方法？比如正项级数的各种审敛法（比较法、比值法、根值法）？~~谢谢！

追答

硬要说用其他审敛法的话，最靠谱的也只有比较判别法了
因为比值，根值都已经失效了
只能选择比较判别了，问题是用比较判别，就要先找参照物
对于这题，我就要找一个发散的参照物
尝试用：(1/n)^[(1+p)/2]，0<p≤1
lim 1/(n*lnn) / (1/n)^[(1+p)/2]
=lim 1/(lnn*n^[(1-p)/2])
=0
很遗憾，即失败……
问题就在于：在1/(n*lnn)中的是1/n，如果是1/n^q，0<q<1就可以用上面的方法了
因此，我觉得我已经无能为力了，如果不用Cauchy积分判别法

另外，对于这题，一眼看去，根本无法直接判断是收敛，还是发散
那么，用什么方法，其实是很值得考虑的（在比值根值失效的情况下）
况且，要用比较，就一定要预判敛散性（如果做不到，几乎可以不考虑这方法）

就我而言，一眼看去，就觉得用积分来做会简单很多，因为这个结构太特殊了，很容易想到积分

对于一个数项级数，要判断敛散性，你可以尝试用以下的套路：
1、看通项是否趋于0，如果不是直接发散
2、看是否正项级数（这时稍微预判一下敛散性）
如果是：
2-1、优先考虑比值根值，因为这最简单方便
2-2、如果比值根值失效，再考虑Raabe判别法，这方法可以说是第二简单的
2-3、看看通项是否特殊，考虑Cauchy积分判别法
2-4、用比较判别法（这一条无顺序限制，预判后觉得方便可以直接用）
如果不是：
3、（那么级数只能是一般项级数了）对一般项级数，有3方法
3-1、如果是交错级数，用Leibnize判别法
3-2、Dirichlet判别法
3-3、Abel判别法
4、如果用尽上述方法都判断不了，很遗憾，只能直接放弃了……
希望我总结出来的东西，能对你有帮助~~~

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