Question

已知f(x)是一个定义在R上的函数,求证明g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数，h（x）=f（x）-f（-x)是奇函数

Answer 1

问题：
已知f(x)是一个定义在R上的函数，求证：(1)、g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；(2)、h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。

证明：
（1）偶函数就是满足：g(x)=g(-x)
g(x)=f(x)+f(-x)
g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
所以，g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数。
（2）奇函数就是满足：h(-x)=-h(x)
h(x)=f(x)-f(-x)
h(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-h(x)
所以，h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。

Answer 2

g(x)=g(-x)
g(x)=f(x)+f(-x)
g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
所以，g(x)=f(x)+f(—x)是偶函数。

h(-x)=-h(x)
h(x)=f(x)-f(-x)
h(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-h(x)
所以，h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。

Answer 3

由题知 g(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(x)+f(-x)=g(x), 所以 g(x)是偶函数
由题知 h(-x)=f(-x)-f(-(-x))=-f(x)+f(-x)=-(f(x)-f(-x))=-h(x), 所以 h(x)是奇函数

Answer 4

解：根据奇、偶函数的定义，在 g(x) 中以 -x 代 x，

若 g(-x) = g(x) 则g(x)是偶函数；若 g(-x) = -g(x) 则g(x)是奇函数。

因为 g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=g(x) ,所以g(x)是偶函数

而 h（-x）=f（-x）-f（x)=-[f（x）-f（-x)]=-h(x) 所以h(x)是奇函数

Answer 5

1.因x在R上，所以定义域关于y轴对称；
2.g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)，所以g(x)是偶函数
3.h(-x)=f(-x)-f(x)
h(-x)+h(x)=f(-x)-f(x)+f(x)-f(-x)=0
所以h(x)是奇函数

Answer 6

g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)所以是偶函数
h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)所以是奇函数