Question

x+y+z=3、x^2+y^2+z^2=3、x^3+y^3+z^3=3这个方程组怎么解啊?

Answer 1

(1)两边平方得：(x+y+z)²=9，即：x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=9 (4)
(4)-(2)得：2xy+2yz+2xz=6 (5)
(2)两边乘以2
2x²+2y²+2z²=6，即：(x²+y²)+(y²+z²)+(x²+z²)=6 (6)
由于：(x²+y²)+(y²+z²)+(x²+z²)≥2xy+2yz+2xz，当且仅当x=y=z时等号成立，
现在注意，比较(5)(6)两式，等号确实成立，因此x=y=z
因此：x=y=z=1

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Answer 2

解：x+y+z=3 ① x²+y²+z²=3 ② x^3+y^3+z^3=3 ③
①²-②，得 xy+yz+xz=3
由③，得 (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-xz)+3xyz=3
∴ xyz=1 ④ xy=1/z
∴xy+(x+y)z=1/z+(3-z)z=3 即1-3z+3z²-z^3=0 z=1
代入，得 x=1，y=1
即方程组的解为 x=y=z=1