Question

如图AB为圆O直径，CB垂直AB,CB为圆的切线,AC交圆于E,D为BC中点，求证DE为切线

Answer 1

证明：连结OE，BE。
因为 CB是圆O的切线，
所以 角DBE=角A，
因为 AB是圆O的直径，
所以 角AEB=角CEB=90度，
又因为 D 是BC的中点，
所以 DE=DB=BC/2，
所以 角DBE=角DEB，
所以 角A=角DEB，
因为 OA=OE，
所以 角A=角OEA，
所以 角DEB=角OEA，
因为 角OEA+角OEB=角AEB=90度，
所以 角DEB+角OEB=90度，
即： 角OED=90度，DE垂直于OE，
所以 DE为切线。

Answer 2

证明：连结BE,OE，则因为AB是⊙O的直径，∠AEB=90°，所以∠CEB=90°。在直角三角形CEB中，D是斜边BC的中线，则DE=BD,。即∠DBE=∠DEB,, 因为BC是圆的切线，所以∠DBE+∠OBE=90°。因为OB,OE是圆的半径，OB=OE,所以∠OEB=∠OBE.,所以∠OEB+∠DEB=90°，即OE⊥DE。所以DE是⊙O的切线。（经过一条半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。）