Question

函数()fx的定义域为R，若(1)fx+与(1)fx−都是奇函数，则( D )

函数()fx的定义域为R，若(1)fx+与(1)fx−都是奇函数，则( D ) (A) ()fx是偶函数 (B) ()fx是奇函数 (C) ()(2)fxfx=+ (D) (3)fx+是奇函数

谁能解释一下为什么

Answer 1

因f(x+1)是奇函数，则由奇偶性定义有f(x+3)=f[(x+2)+1]=-f[-(x+2)+1]=-f[-(x+1)]（不好理解可令u=x+2）
又f(x-1)是奇函数，则由奇偶性定义有f(-x-1)=-f(x-1)，即-f[-(x+1)]=f(x-1)
所以有f(x+3)=f(x-1)，显然f(x+3)也为奇函数
要注意的是，由于f(x+3)=f(x-1)，说明f(x)为最小周期为4的周期函数，即f(x)=f(x+4)，当自变量取x-1时必有f(x+3)=f(x-1)。但f(x)不是奇函数，如果是，则有f(x)=-f(-x)，当自变量取x+1时会有f(x+1)=-f[-(x+1)]；而f(x-1)是奇函数，即有-f[-(x+1)]=f(x-1)；由此可得f(x+1)=f(x-1)，当x=0时，f(1)=f(-1)，与假设矛盾（根据假设就有f(1)=-f(-1)）。