Question

有一道关于极限的简单题目

题目如下
已知xn=(-1)n次方/（n+1）2次方，证明数列{xn}的极限是0
证明如下
|xn-a|=|(-1)n次方/（n+1）2次方-0|=1/(n+1)2次方<1/(n+1)
任意ε>0(设ε<1)，只要1/(n+1)<ε或n>(1/ε)-1
不等式|xn-a|<ε必定成立，所以，取N=[(1/ε)-1],则当n>N时就有|(-1)n次方/（n+1）2次方-0|<ε,即lim xn=(-1)n次方/（n+1）2次方=0

问题如下
为什么要有1/(n+1)2次方<1/(n+1)这么一步？没有能证明吗？

Answer 1

没有1/(n+1)2次方<1/(n+1)这么一步也可以证明，只不过后面的N的取值就需要相应的改变了，
因为证明极限存在的思路就是寻找一个和ε相关的N（ε），使得我们任意取定的ε，都有对应的N（ε），当n>N时，|xn-a|<ε即可，因此这里的N并不唯一，他有无穷多个取值，但是我们证明的时候往往都是寻找那个最简单的，同时又能满足题意的那个N

Answer 2

之所以要这一步1/(n+1)2次方<1/(n+1)
是为了方便求一个满足条件的N的值
当然，你用1/(n+1)2<ε解得一个N的值也没有错