Question

已知函数f(x)=loga[(x-1)/(x+1)](a>0,且a不等于1），1.求f(x)的定义域

已知函数f(x)=loga[(x-1)/(x+1)](a>0,且a不等于1），1.求f(x)的定义域,并讨论f(X)在一到正无穷内的单调性，2.令g(x)=1+logax,当x属于[m,n]且在一到正无穷内时（m<n),f(x)在[m,n]值域为[g(n),g(m)]，求a的取值范围。

Answer 1

已知函数f^(-1)(x)=loga(x-1)/(x+1)(a>0,a不等于1),x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）。

（3）令g(x)=1+logaX,当[m,n]真含于(1,+∞），

（m<n）时，
   f^(-1)(x)在[m,n]的值域为[g(n),g(m)],

求a的取值范围?

 

解：（3）因为m<n，g(n)<g(m),所以g(x)=1+logax在[m,n]上是减函数，

所以0<a<1,所以f^(-1)(x)=loga(x-1)/(x+1)=loga[1-2/(x+1)]在[m,n]上是减函数，

又f^(-1)(x)在[m,n]的值域为[g(n),g(m)],

所以 f^(-1)(m)=g(m),

所以1-2/(m+1)=am,

 a=(m-1)/[m(m+1)]=(m-1)/[(m-1)^2+3(m-1)+2]=1/[(m-1)+2/(m-1)+3]≤3-2√2,

所以0<a<3-2√2.

Answer 2

1 、x+1/x-1>0 x>1或x<-1
2、g（x）=x+1/x-1的值域为g（x）≠1
所以f(x)=loga（x+1/x-1）(a>0,且a不等于1)的值域为f（x）≠0
3、f（-x）=loga（-x+1/x+1）= - loga（x+1/x-1），所以为奇函数
4、因为g（x）=x+1/x-1=1- + 2/（x-1）为减函数
当0<a<1时f（g）=loga g为减函数，所以复合函数f（x）为增函数
当a>1是f（g）=loga g为增函数，所以复合函数f（x）为减函数

Answer 3

1、解：f(x)=loga[(x-1)/(x+1)](a>0,且a不等于1）
若此时有意义，则(x-1)/(x+1)>0 ,求得：x<-1或x>1 即定义域。
在一到正无穷内
f(x)=loga[(x-1)/(x+1)]=ln[(x-1)/(x+1)]/lna
f(x)'=1/lna乘以[(x+1)/(x-1)]乘以[2/(x+1)^2] (a>0,且a不等于1）
整理得：f(x)'=1/lna乘以[2/(x^2-1)]
[2/(x^2-1)]>0，当 a<1时， 1/lna<0；f(x)'<0,单调递减
当a>1时， 1/lna>0；f(x)'>0,单调递增
2、解：由已知可知g(x)可定义为单调递减函数，在[m,n]上
所以g(x)'<0,在[m,n]上
g(x)'=1/lna乘以(1/x)，因为x>1,(1/x)大于0，
当a<1时，lna<0,1/lna<0，此时g(x)'<0
所以a的取值范围是a<1.

Answer 4

(x-1)/(x+1)>0

(x-1)/(x+1)≠1

x+1≠0
解得x∈x>1或x<-1