Question

证明:函数f(x)在a连续,且f(a)小于0，则存在&大于0,对任意x:(x-a)的绝对值小于&,有f(x)小于0

Answer 1

由于f(x)连续，f(a)<0，即lim[x→a] f(x)<0，设lim[x→a] f(x)=b<0
取ε=|b|/2，由极限定义，存在δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-b|<ε=|b|/2
则-|b|/2<f(x)-b<|b|/2，因此-|b|/2<f(x)<b+|b|/2=b/2<0， 注意，由于b<0，|b|/2=-b/2
因此当0<|x-a|<δ时，f(x)<0

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