Question

f（x）是定义在R上的奇函数，且满足下两个条件

f(x)是定义在R上的奇函数，且满足下面两个条件：
①对于任意的x,y∈R，有(x+y)=f(x)+f(y)
②当x＞0时，f(x)＜0，且f(1)=-2
求函数f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值

Answer 1

对于任意的x、y∈(0，3]，其中x>y，
都有f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(x-y),
因为x-y>0,所以f(x-y)<0,
所以f(x)在(0，3]上单调递减，而f(x)为奇函数，
所以f(x)在[-3,3]上为减函数，
也就是说最大值为f(-3),最小值为f(3)
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1+1)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6
f(-3)=f(3)=6
即最大值为6，最小值为-6.

追问

为什么会有对于任意的x、y∈(0，3]，

追答

因为问题中问的是[-3,3]，而这又是奇函数，所以只要讨论[0,3]这个区间即可

Answer 2

条件1中应为：f(x+y)=f(x)+f(y)。不然此题不成立。
解：由f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)=0;f(-x)=-f(x)
设a,b属于区间[-3,3]且a<b，则 b-a>0,由f(x+y)=f(x)+f(y)，f(-x)=-f(x)
有f(b)-f(a)=f(b)+f(-a)=f(b-a)，由a<b， b-a>0，x＞0时，f(x)＜0，有f(b-a)<0.即f(b)-f(a)<0，
f(a)>f(b) 。f(x)在[-3,3]上为减函数。最小值为f(3)=f(1)+f(2)=-2+f(1)+f(1)=-6；最大值为f(-3)=-f(3)=6。