Question

函数y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）的值域为？（需要过程）

Answer 1

解：y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）
y=2-3x/（x²+x+1）
y=2-3/（x+1/x+1）x+1/x≥2√x×1/x
y≤2-3/（2+1）=2-1=1
函数y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）的值域为（负无穷，1]

追问

可以用高一的只是解答吗？没看懂

追答

（a+b）^2≥2ab还没学么？！

追问

没

追答

高一应该学过了吧，用这个方法最简单了，完全平方式：a^2-2ab+b^2=（a-b）^2≥0=＞（√a-√b）^2≥0=＞a+b≥2√ab=＞x+1/x≥2√x×1/x=2
上面有点问题，更正：
解：y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）
∵y=2-3x/（x²+x+1）
∵y=2-3/（x+1/x+1）
此时分情况：
①x＞0时
∵x+1/x≥2√x×1/x=2
∴3/（x+1/x+1）≤3/（2+1）=1
∴-3/（x+1/x+1）≥-3/（2+1）=-1
∴y≥2-3/（2+1）=2-1=1
∵-3/（x+1/x+1）＜0
∴y=2-3/（x+1/x+1）＜2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）①x＞0时的值域为[1，2)

②x=0时
y=2/1=2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）②x=0时的值域为[2]

③x＜0时
y=2-3/（x+1/x+1）
y=2+3/[-x+（-1/x）-1]
∵-x+（-1/x）≥2√-x×（-1/x）=2
∴3/[-x+（-1/x）-1]≤3/（2-1）=3
∴y≤2+3/（2-1）=2+3=5
∵3/[-x+（-1/x）-1]＞0
∴y=2+3/[-x+（-1/x）-1]＞2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）③x＜0时的值域为(2，5]

综合①②③几种情况得：函数在y=（2x2-x+2）/（x2+x+1）实数范围内的值域为[1，5]。

Answer 2

解析：y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）
y（x²+x+1）=（2x²-x+2）
yx²+yx+y=2x²-x+2
(2-y)x²-(y+1)x+2-y=0
⊿=(y+1)^2-4(2-y)^2>0
3y^2-18y+15<0
所以，函数值域为1<y<5

追问

为什么⊿=(y+1)^2-4(2-y)^2>0

追答

(2-y)x²-(y+1)x+2-y=0
要使方程有解，需⊿=(y+1)^2-4(2-y)^2>=0
3y^2-18y+15<=0
所以，函数值域为1<=y<=5

Answer 3

分子分母先因式分解，然后约分。同时注意分子不等于0

追问

具体点

追答

y=[2(x²+x+1)-3x] / （x²+x+1）
=2-3x /（x²+x+1)
=2-3x / [(x+1/2)^2+3/4]
当x=-1/2时，y最小=0
当x不等于-1/2时，y=2-3/[x+1+1/x]<2
所以大于等于0小于2