Question

已知在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直平面ABC,EC垂直平面ABC,且EC=2AD。求证平面BDE垂直平面BEC

求图 不要只告诉我ED CA延长交于F

Answer 1

方法一：
延长ED交CA的延长线于F。
∵AD⊥平面ABC、CE⊥平面ABC，∴AD∥CE，又CE＝2AD，∴AC＝AF，又AB＝AC，
∴AB＝AC＝AF，∴A是△BCF的外心，∴BF⊥BC。

∵CE⊥平面ABC，而BF在平面ABC上，∴BF⊥CE。
由BF⊥BC、BF⊥CE、BC∩CE＝C，得：BF⊥平面BEC，∴平面BEF⊥平面BEC，
∴平面BDE⊥平面BEC。

方法二：
分别取BE、BC的中点为G、H。
∵G、H分别是BE、BC的中点，∴GH是△BCE的中位线，∴GH∥CE、且GH＝CE/2。
∵CE＝2AD，∴AD＝CE/2 ，∴AD＝GH。
∵CE⊥平面ABC、AD⊥平面ABC，∴CE∥AD，而GH∥CE，∴GH∥AD。
由AD＝GH、GH∥AD，得：ADGH是平行四边形，∴DG∥AH。

∵AB＝AC，H∈BC且BH＝CH，∴AH⊥BC，而DG∥AH，∴DG⊥BC。
∵CE⊥平面ABC，而AH在平面ABC上，∴AH⊥CE，而DG∥AH，∴DG⊥CE。
由DG⊥BC、DG⊥CE、BC∩CE＝C，得：DG⊥平面BEC，而DG在平面BDE上，
∴平面BDE⊥平面BEC。