Question

如图，AC平行于BD，AE和BE分别平分角CAB和角DBA，CD过点E。

求证：（1）AE垂直于BE（2）AB等于AC加BD。（用等腰三角形的知识解决）

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵AE、BE为角平分线，
∴∠BAE=1/2∠CAB，∠ABE=1/2∠ABD，
∴∠ABE+∠BAE=1/2(∠CAB+∠ABD)=90°，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BE。
⑵延长AE交BD的延长线于F，(要证明AB=AC+BD，必须加条件：E为CD的中点)
∵AC∥BD，∴∠CAE=∠F，∠C=∠F，CE=DE，
∴ΔACE≌ΔFDE，
∴AE=FE，AC=DF，∴AC+BD=DF+BD=BF。
∵BE⊥AF，AE=FE，(BE是AF的垂直平分线)
∴AB=BF，(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)。
∴AB=AC+BD。

Answer 2

(1)因∠CAB+∠DBA=180，∠BAE=∠CAE，∠ABE=∠DBE
所以2∠ABE+2∠BAE=180，即∠ABE+∠BAE=90
表明ABE为直角三角形，即AE垂直于BE
(2)延长AE交BD的延长线于F，延长BE交AC的延长线于G
在三角形ABG中，AE垂直于BG，且AE为∠BAC的平分线，则AB=AG（等腰三角形三线合一）
同理，在三角形ABF中有AB=BF。所以AB=AG=BF
又在三角形ABF中，由等腰三角形性质知AE=EF，则在三角形ACE和FED全等（注意到AC//BD），所以AC=DF
于是AB=BF=BD+DF=BD+AC

Answer 3

证明：延长BE交AC的延长线于F
∵BE平分∠DBA
∴∠DBE＝∠ABE
∵AC∥BD
∴∠DBE＝∠F，∠D＝∠FCE
∴∠ABE＝∠F
∴AB＝AF
∵AE平分∠CAB
∴AE⊥BE，BE＝EF （三线合一）
∴△BDE≌△FCE （AAS）
∴CF＝BD
∵AF＝AC+CF
∴AF＝AC+BD
∴AB＝AC+BD