Question

极值问题

57个正整数之和为100，求各个数的平方的和的取值范围。(要有解答过程或原理提示)
要高中数学解题过程，要有很强的逻辑性，不要理解上的

Answer 1

分析，
这个题的原理：
a²+b²≧2ab，当a=b时取等号，
∴当a和b越接近时，a²+b²的越小。
a,b为正数，当a+b=t(t是定值时)
∴在a和t越接近时，或b和t越接近时，(a²+b²)的值越大。

理由：
a,b都是正数，a+b=t，
a²+b²
=a²+(t-a)²
=2a²-2at+t²
=2(a-t/2)²+t²/2
因此，根据函数的图像，
当a=b=t/2时，(a²+b²)最小，
当a=t时，a²+b²最大。

解，57个数之和为100,
100/57≈1.8，
因此，当这57个正整数的平均数越接近2，那么这57个数的平方和最小
设这57个数中有x个2，y个1
2x+y=100
x+y=57
解出，x=43,y=14
这57个数的平方和的最小值为：43×2²+14×1²=186

通过上面的分析，
当这57个数有一个数特别大，其他的数都是1时，此时这57个数的平方和最大。
设这最大的数为a，
∴a+56=100
a=44
∴57个数中，有一个最大的数位44，其他56个数都是1，
这57个数的平方和的最大值为：44²+56×1²=1992。
因此，取值范围为【186,1992】。

【备注，思路就是这样，我写的很清楚，不懂了，你再问吧！】

Answer 2

解：57个正整数之和为100，其中可能最大的一个是44，其余为1，它们的平方和为：
56×1的平方+44的平方=1992

57个正整数之和为100， 数按照最小取值有：14个1和43个2，它们的平方和为：
14×1的平方+43×2的平方=14+172=186

Answer 3

a+b+………………/57=100 /57 算术平均数
根号【（a²+b²+………………）/57】 为平方平均数
所以根号【（a²+b²+………………）/57】 ≥a+b+………………/57=100 /57
10000＞a²+b²+………………≥10000/57

公式：平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数