Question

一道数学题，求详细过程，谢！

函数y=arctanx - arccotx在（-无穷，+无穷）内是（ ）
A有界函数 B无界函数 C周期函数 D偶函数

Answer 1

函数y=arctanx - arccotx在（-无穷，+无穷）内是（   ）

A有界函数  B无界函数    C周期函数    D偶函数

解：选A：有界函数(上下有界)。因为：

x→-∞limy=x→-∞lim(arctanx-arccotx)=-π/2-π=-3π/2

x→+∞limy=x→+∞lim(arctanx-arccotx)=π/2-0=π/2

y(0)=0-π/2=-π/2

y(1)=arctan1-arccot(-1)=π/2-π/2=0

即当-∞<x<+∞时，-3π/2<arctanx-arccotx<π/2.

其图像如下： 

Answer 2

tan(a) = b; 

等价于 Arctan(b) = a; 

定义域　{x∣x∈R}

值域　　{y∣y≠kπ+π/2,k∈Z}

arctanx+arccotx=90

arccotx=90-arctanx

y=2arctanx-90

所以是无界函数！ 

 

不过高中课本说arctanx的定义是在tanx在(-π/2,π/2)取反函数的，这样的话

y=2arctanx-90就是有界函数了！

Answer 3

x为正无穷大时，arctanx无限接近（派）/2，但到达不了这个值，arccotx无限接近0，但也到达不了。
x为负无穷大时，arctanx无限接近 负（派）/2，但到达不了这个值，arccotx无限接近（派），但也到达不了。
所以，函数是有界函数，最大值是（派）/2，最小值是负3（派）/2。但只是无限接近。
圆周率只能用（派）表示了，见谅。

Answer 4

解：正确答案选A。
∵函数y1=arctanx是反正切函数 其值域要在一个单调区间(-π/2,π/2)上。
同理函数y2=arccotx是反余切函数 其值域在单调区间(0,π).
∴综上可知函数y=arctanx - arccotx是有界函数。

Answer 5

A
画出反函数图像，y既不是周期函数，也不是偶函数