Question

求解二重反常积分

Answer 1

先用2重积分的换元积分
2xy-2x^2-y^2
=-x^2-(x+y)^2
令u=x v=x+y则x=u y=v-u （这里只是线性变换，当然你也可以用正交变换，三重积分这类题目常用正交变换）
x,y关于u，v的雅阁比为1

所以原式子=∫∫e^(-u^2-v^2)dudv
这显然是个标准题型，接下来用极坐标积分
结果为2π

追问

我算出来答案是π啊

追答

是π
我记错了，呵呵。想改的时候改不了了。

Answer 2

e^(-2x^2+2xy-y^2)=e^(-x^2)e^(-x^2+2xy-y^2)
=e^(-x^2)e^(-(y-x)^2)
A=∫∫e^(-2x^2+2xy-y^2)dxdy
=∫e^(-x^2)dx∫e^(-(y-x)^2)dy
对积分∫e^(-(y-x)^2)dy作代换：y-x=t得：
∫e^(-(y-x)^2)dy=∫e^(-t^2)dt
A=∫e^(-x^2)dx∫e^(-t^2)dt
=∫∫e^(-x^2-t^2)dxdt
=∫dθ∫(0,+∞)re^(-r^2)dr=
=∫dθ/2=π

Answer 3

积分符号不会打哦，算了个结果(-1/3)*x^3/(x-y)*e^(-2x^2+2xy-y^2)+x^2(y-1)e^(-2x^2+2x+y)+x^2/4y*e^(-2x^2-y^2)