Question

若△ABC为等边三角形，O是△ABC中任意一点，求证:1/2(AB+AC+BC)<OA+OB+OC<2/3(AB+AC+BC)

Answer 1

证明:

AO+OC>AC

AO+BO>AB

OC+BO>BC

所以:1/2(AB+AC+BC)<OA+OB+OC;

 

过O点做OD平行与AB,交AC与点D,过O点做OE平行与AC,交AB与点E

则OD=AE

在△ADO中,AD+OD>AO;

AD+AE>AO;----------------------------------(1)

在△DOC中,∠ODC=60°,∠ACO<60°,则∠AOC>60°,∠AOC>∠OAC,

所以DC>OC;---------------------------------(2)

同理,BE>BO;---------------------------------(3)

(1)+(2)+(3):AB+AC<OA+OB+OC

等边三角形三边相等,所以OA+OB+OC>2/3(AB+AC+BC)

得证.

Answer 2

因为 OA+OB>AB, OB+OC>BC, OC+OA>CA, 相加得：
2（OA+OB+OC)>AB+BC+CA
==>1/2(AB+AC+BC)<OA+OB+OC

过O作OD//AB交AC于D， OE//AC交 AB于E。 则 AE+AD=AE+EO>AO,
同时， 因为 角ODC=60度， 角OCD < 角BCA=60度。 ==》
角DOC = 180度 - 角ODC - 角OCD < 60度<角ODC, 于是 OC < DC.
同理可证， OB < EB
==> OA + OB + OC < AE + AD + EB + DC = AB + AC = 2/3(AB+AC+BC)

Answer 3

两边之和大于第三边
OA+OB>AB, OB+OC>BC, OC+OA>CA
所以
2(OA+OB+OC)>AB+BC+CA
OA+OB+OC> 1/2 (AB+BC+CA)

第二部分　OA+OB+OC<2/3(AB+AC+BC)不成立：
假设AB=AC=10,BC=1，当O接近A时，OA -->0, OB=OC-->AB=10有
OA+OB+OC~=AB+AC=20 >2/3(AB+AB+BC)=14
应该是　OA+OB+OC< (AB+AC+BC)

证明：延长AO到BC交于D，则有
CA+BD>AD=OA+OD
DC+OD>OB所以
CA+(BD+DC)+OD>OA+OD+OC
CA+BC>OA+OB
同理可得
AB+BC>OA+OC
BC+CA>OC+OA
三式相加得
2(OA+OB+OC)< 2(AB+AC+BC)
OA+OB+OC< AB+AC+BC