Question

已知实数a,b满足a2+b2=2,则a4+ab+b4的最小值为______ 急！谢谢各位大侠。

已知实数a,b满足a2+b2=1,则a4+ab+b4的最小值为______ 急！谢谢各位大侠。
题目打错了，这个是对的，谢谢解答

Answer 1

a^4+b^4=(a²+b²）²-2a²b²+ab=1-2(ab)²+ab
设x=ab，则有f(x)=-2x²+x+1
很显然，该函数所标示的为一抛物线，且抛物线开口向下，应该只有最大值。
但是，a²+b²=(a+b)²-2ab=1，所以(a+b)²=1+2ab>0，所以ab>-1/2
即f(x)=-2x²+x+1中，x>-1/2
同样的，a²+b²=(a-b)²+2ab=1，所以(a-b)²=1-2ab>0，所以ab<1/2
即f(x)=-2x²+x+1中，-1/2<x<1/2
因此，比较x取不同值时的f(x)的值，得x=-1/2最小值为：0

Answer 2

令a=sinx,b=cosx
则原式=(a²+b²)²-2a²b²+ab
=(sin²x+cos²x)²-2(sinxcosx)²+sinxcosx
令m=sinxcosx=1/2*sin2x
所以-1/2<=m<=1/2
原式=1-2m²+m
对称轴m=1/4.开口向下
所以m=-1/2
最小值=0

追问

能用初中数学的方法解决吗？

Answer 3

a2+b2=1,a,b实数,ab<1/2
a4+ab+b4=(a2+b2)2-2(a2b2-1/4)2+1/8最小值=1-2*1/16+1/8=1

Answer 4

a^4+b^4+ab=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2+ab
=1-2(ab)^2+ab
=-2(ab-1/4)^2+1+1/8
a^2+b^2>=2ab
ab<=1/2
最小为9/8，当ab=1/4时

Answer 5

令a^2=2sin^2 b^2=2cos^2
1/4