Question

在三角形ABC中,∠A=∠B=30°,∠MCN=60°,∠MCN的两边交AB边于E,F两点,将∠MCN绕C点旋转

(1)画出△BCF绕点C顺时针旋转120°后的△ACK(2)在(1)中,若AE^2+EF^2=BF^2,求证BF=根号2CF
以上两问我会，但第三问做出来的答案却和标答不同。
（3）在（2）的条件下，若AC=根号3+1，直接写出EF的长.
我算的是二分之根号3，答案却是根号3，求解……

Answer 1

由(1),(2)有 AK=BF, EK=EF, AE=(1/2)AK, EK=(√3/2)AK.
则AE=(√3/3)EK=(√3/3)EF, BF=AK=(2√3/3)EK=(2√3/3)EF
若AC=√3+1,则BC=√3+1, AB=√3(√3+1)
又AE+EF+FB=AB
所以(√3/3)EF+EF+(2√3/3)EF=√3(√3+1)
(√3+1)EF=√3(√3+1)
EF=√3

追问

我也是由你这个方法做的……原来是我算错了。谢谢啊。

Answer 2

(2)条件
在△BCF中
sinB/sin∠BCF=CF/BF
∠BCF=45°
∠BFC=105°
CF/BC=sinB/sin∠BFC
CF=√2

在△CEF中
∠EFC=75°
∠FEC=45°

EF/CF=sin∠ECF/sin∠FEC
EF=CFsin∠ECF/sin∠BFC
=√2sin60°/sin45°=√3

你能将你做的过程传上来吗
看看哪步出错

追问

那啥……我初三，不过三角函数还没学。我就是算AB的长时忘记X2了，谢谢了。

Answer 3

（3）作CH⊥AB于H,∠A=∠B=30°,
∴AC=BC,AH=BH,
AC=√3+1,
∴AH=ACcosA=（3+√3）/2，
连EK,∠ECK=∠ECA+∠ACK=∠ECA+∠BCF=∠ACB-∠ECF=60°=∠ECF,
CK=CF,
∴△ECK≌△ECF(SAS),
∴EK=EF,
由AE^2+EF^2=BF^2得AE^2+EK^2=AK^2，
∴EK⊥AE,
∠KAE=∠A+∠B=60°，
∴BF=AK=2AE,EF=√3AE,
∴AB=2AH=3+√3=（3+√3）AE=(√3+1）EF,
∴EF=√3.