Question

若f(x)在[0,2a]上连续,其中a>0且f(0)=f(2a),证明方程f(x)=f(x+a)在[0,2a)内至少有一实根

Answer 1

令函数g(x)=f(x)-f(x+a)，则将x=0与x=a代入，可得：
g(0)=f(0)-f(a)
g(a)=f(a)-f(2a)
由题中f(a)=f(2a)
可知：g(0)=-g(a)
即g(0)*g(a)<=0,当且仅当f(0)=f(a)=f(2a)时等号成立，而等号成立时f(x)=f(x+a)在x=0处成立。
若等号不成立，则由零点定理得g(x)在[0,a]上存在一点b使得g(b)=0
即f(b)-f(b+a)=0,f(b)=f(b+a)。故得证。