Question

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0.b>0)的左右焦点分别为f1(-c,0)

f2(c,0)若双曲线上存在一点p使sin角pf1f2/sin角pf2f1=a/c,则该双曲线的离心率e的取值范围

Answer 1

在△PF1F2中，由正弦定理，
sinPF1F2/sinPF2F1=PF2/PF1=a/c,
由焦半径公式，（ex0-a)/(ex0+a)=1/e,其中x0是P点的横坐标，
∴e^2x0-ae=ex0+a,
(e^2-e)x0=a(e+1),
x0=a(e+1)/(e^2-e),
在双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0.b>0)中|x0|>=a,e>1,
∴(e+1)/(e^2-e)>=1,
e+1>=e^2-e,
e^2-2e-1<=0,
∴1<e<=1+√2，为所求。