Question

高二数学 圆和方程最值问题

如果实数x，y满足x^2+y^2-4x-5=0
求:（1）x^2+y^2的最大值和最小值
（2）y-x的最大值和最小值
（3）y-3/x+2的最大值和最小值

Answer 1

（1）设 t=x^2+y^2 ，则 t-4x-5=0 ，
由已知，圆 x^2+y^2-4x-5=0 即 (x-2)^2+y^2=9 与直线 4x+5-t=0 有公共点，
所以圆心到直线距离不超过圆的半径，
即 |4*2+5-t|/4<=3 ，
解得 1<=t<=25 ，
也就是 x^2+y^2 最小值为 1 ，最大值为 25 。
（2）设 y-x=t ，同理，圆心到直线距离不超过圆的半径，
即 |0-2-t|/√2<=3 ，
解得 -2-3√2<=t<=-2+3√2 ，
因此 y-x 最小值为 -2-3√2 ，最大值为 -2+3√2 。
（3）设 (y-3)/(x+2)=t ，则 y-3=t(x+2) ，
化简得 t*x-y+2t+3=0 ，
同理，圆心到直线距离不超过半径，
所以 |2t-0+2t+3|/√(t^2+1)<=3 ，
解得 -24/7<=t<=0 ，
即 (y-3)/(x+2) 的最小值为 -24/7 ，最大值为 0 。

Answer 2

可以用几何法或三角法。这里用三角法：
配方：(x-2)^2+y^2=3^2
可设参数方程：x=2+3cost, y=3sint
1)x^2+y^2=4+12cost+9=13+12cost
最大值为13+12=25，
最小值为13-12=1

2)y-x=3(sint-cost)-2=3√2(t-π/4)-2
最大值为3√2-2，
最小值为-3√2-2

3）记z=(y-3)/(x+2)=3(sint-1)/(4+3cost)
令tant/2=u,
则z=3[2u/(1+u^2)-1]/[4+3(1-u^2)/(1+u^2)]=-3(u^2-2u+1)/(7+u^2)
u^2(z+3)-6u+7z+3=0
delta=36-4(z+3)(7z+3)>=0
得：7z^2+24z<=0
解得： -24/7=<z<=0
即最大值为0
最小值为-24/7

Answer 3

解：x²+y²-4x-5=0 可化为 (x-2)²+y²=9，则可设 x=2+3cosα，y=3sinα
(1)x²+y²=5+4x=13+12cosα -1≤cosα≤1 最大值25，最小值1
(2)y-x=3(sinα-cosα)-2=3根号2sin(α-π/4)-2 最大值3根号2-2，最小值-3根号2-2
(3)设(y-3)/(x+2)=k，得 y=kx+2k+3 代入原方程，得 (k²+1)x²+(4k²+6k-4)x+(4k²+12k+4)=0
此方程有解，则 判别式≥0 -24/7≤k≤0 最大值0，最小值-24/7

Answer 4

解：(1)x^2+y^2-4x-5=0
(x-2)²+y²=3²
写成参数的形式是:
x=2+3cosa
y=3sina
x^2+y^2的最大值和最小值
x²+y²
=(2+3cosa)²+(3sina)²
=4+12cosa+9(cos²a+sin²a)
=13+12cosa
1≤13+12cosa≤25
即1≤x^2+y^2≤25

（2）y-x的最大值和最小值
y-x
=3sina-3cosa-2
=3√2sin(a-45°)
-3√2-2≤3√2sin(a-45°)-2≤3√2-2
即-3√2-2≤y-x≤3√2-2