Question

高等数学一：极限类题目，哪位高手能帮忙解答，谢谢！

证明：当n趋于无穷大时，lim（1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）存在，并求出极限值．

Answer 1

解：函数f(x)=1/(1+x).
用分点将区间[0,1]平均分成n份，分点是
x[k]=k/n,k=1,2,...,n.
利用定积分的定义，和式
∑{f(x[k])*(1/n),k=1...n}
当n->∞时的极限等于定积分
∫{f(x)dx,[0,1]}
而f(x[k])*(1/n)＝1/(n+k)，通项相等，也就是说你的式子等于上面的和式。
于是
lim[1/(n+1) +1/(n+2)+1/(n+3)+……1/(n+n),n->∞]
=∫{f(x)dx,[0,1]}
=∫{1/(1+x)dx,[0,1]}
=ln(1+x)|[0,1]
=ln(1+1)-ln(1+0)
=ln2

追问

谢谢！若是证明：当n趋于无穷大时lim［1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／（n＋n）］，你的做法完全对，但现在和式共有2n＋1项啊！还能用定积分定义吗？

追答

解：设f(n) = 1／n+1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/3n
则f(n+1) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/3(n+1)
则f(n+2) = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/[3(n+1)+1]
= 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(3n+4)
则f(n+1)-f(n+2) = 1/(n+1) - [1/(3n+2) + 1/(3n+3) + 1/(3n+4)]
= 1/(n+1) - [1/(3n+3)+(3n+2+3n+4)/((3n+2)(3n+4))]
= 1/(n+1) - [1/(3n+3) + (6n+6)/((3n+2)(3n+4))]

因为(3n+2)(3n+4)=9n^2+18n+81 /【(3n+3)(3n+3)】……应用到下式；

则f(n+1)-f(n+2)11/6，对所有自然数n成立；
综上所得：f(n)的最小值为11/6。
希望帮助到你，若有疑问，可以追问~~~
祝你学习进步，更上一层楼！(*^__^*)

Answer 2

　　设A=1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n，则有A《（2n+1)/n《3,，又由于A单调递增，故由单调有界定理得A必收敛，故得其极限存在，

至于求积分值就用楼下给的算法不过要变一下：

设B=lim（1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n），

由定积分定义得;

变换B=lim[1／n＋{1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）} 

]又B1=1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／2n）=ln(1+x)在【0，1】上的值即为ln2，

又有B2=1／（2n＋1）＋1／（2n＋2）＋．．．＋1／3n）=ln（2+x）在【0，1】的值即为ln3-ln2，

所以B=lim 1/n+B1+B2=0+ln2+ln3-ln2=ln3.#

• 不知道对不对错了还望改正
  

Answer 3

利用1+1/2+..+1/n-log(n)=c+o(1)
原式为lim（log(3n)-log(n-1)+o(1)）=log(3)

追问

看不懂，能否写详细些？

追答

嗯，你知道这个结论吗：
lim(n→∞)[1+1/2+..+1/n-log(n)]=γ (称为欧拉常数=0.577...还不知是否是无理数)这个结论其实很容易证明。
一般这样关于调和级数截取一段加和的极限都可以通过这个结论解决。
由结论1+1/2+..+1/3n=log(3n)+γ+an. 1+1/2+..+1/(n-1)=log(n-1)+γ+bn
其中an,bn当n趋于无穷大时趋于0.
所以所求为lim[1+1/2+..+1/3n-(1+1/2+..+1/(n-1))]=lim[log(3n)+γ+an-(log(n-1)+γ+bn)]=lim(log(3n/(n-1)))=log(3)

追问

这是一道研究生入学考试的第一题解答题,参考教材是同济大学出版的>上下册,书上没有这样的结论，那怎么做？

追答

你要是愿意直接证明lim(n→∞)[1+1/2+..+1/n-log(n)]存在,记an=1+1/2+..+1/n-log(n)
则 a(n+1)-an=1/(n+1)-log((n+1)/n)=1/(n+1)+log(n/(n+1))
利用不等式 log(n/(n+1))=log(n+1)-log(n)>=0 所以an递减有下界，因此an极限存在，然后就可以做了，也不用担心扣分.或者你还是喜欢积分做法的话1/(n+1)+..+1/(n+2n)=1/n[1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+..+1/(1+2-1/n)+1/(1+2)] 根据定积分定义 这相当于log(1/(1+x))在[0,2]上的积分答案是log(3)