Question

若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围

Answer 1

a+b≧2√ab
所以：ab=a+b+3≧2√ab+3，即：ab-2√ab-3≧0 ①
令t=√ab，则t>0，且ab=t²
则①式化为：t²-2t-3≧0
(t+1)(t-3)≧0
t≦-1或t≧3
因为t>0
所以：t≧3
即：√ab≧3
ab≧9
所以，ab的取值范围是[9,+∞)

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Answer 2

解:令ab=y,则b=y/a
所以y=a+y/a+3
则a^2+(3-y)a+y=0
因为a>0
所以方程只有正根
则可推出Δ=(3-y)^2-4y≧0
x1+x2=-(3-y) >0
x1*x2=y>0
则y≧9
所以ab≧9

Answer 3

a+b≧2√ab
a+b+3≧3+2√ab
因为ab=a+b+3
所以：ab≧3+2√ab
令√ab=t
则t²≧3+2t
t²-2t-3≧0
(t-3)(t+1)≧0
t≧3或t≦-1
因为t=√ab
所以显然t=√ab≧3
所以：ab≧9

Answer 4

ab-3大于等于2倍根号ab，解得ab大于0且小于根号3

Answer 5

设t=ab=a+b+3>3
令a,b是一个二次方程的两根则构造出的方程为
x^2+(3-t)x+t=0
则有△=(3-t)^2-4t=t^2-10t+9>=0
解得t>=9

ab的取值范围[9,+无穷大)