Question

已知二次函数f（x)=ax^2+bx满足f（2）=0，且方程f（x）=x有等根。

（1）求f（x）的解析式。
（2）是否存在实数m，n（m小于n），使f（x）的定义域和值域分别为【m，n】和【4m，4n】，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）f(x)-x=ax^2+(b-1)x=0-->x=0, (1-b)/a,
因为两根相等，所以有：b=1
f(2)=4a+2b=4a+2=0---> =a=-1/2
因此f(x)=-x^2/2+x=-1/2(x-1)^2+1/2,

（2）f(x)开口向下，f(1)为最大值1/2
1)如果n<=1,则此[m,n]区间是单调增的，最大最小值都在端点取得：
f(m)=-m^2/2+m=4m--> m=0 or -6
f(n)=-n^2/2+n=4n--> n=0 or -6
由此取m=-6, n=0,
如果m>=1,则此[m,n]区间是单调减的，最大最小值都在端点取得：
f(m)=-m^2/2+m=4n
f(n)=-n^2/2+n=4m
两式相减得： (n^2-m^2)/2+(m-n)=4(n-m)
因n-m不等于0, 所以解得(n+m)/2-1=4--> n+m=10
代入其中一个方程：-m^2/2+m=4(10-m)--->m^2-10m+40=0-->无实根
如果m<1<n,此[m,n]区间上最大值为1/2=2n, 即n=1/4, 不符。
因此综合以上结果，只有一组m=-6, n=0满足条件。
定义域为[-6,0]，值域为[-24,0]。

Answer 2

已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(2)=0,且方程f(x)=x有等根｡
(1)求f(x)的解析式｡
f(2)=4a+2b=0
ax^2+(b-1)x=0
x(ax+b-1)=0
x=0 x=(1-b)/a=0
b=1
a=-1/2

f(x)=-x^2/2+x

(2)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由｡
f(x)=-x^2/2+x=-1/2(x-1)^2+1/2
x=1时f(x)有最大值1/2
f(x)=-x^2/2+x=4x
x^2+6x=0
x=0 x=-6 皆小于1
m=-6 n=0

Answer 3

(1):f(x)=(-1/2)x^2+x
(2):m=-6 n=0