Question

高一数学的一些问题 现在对复合函数的概念已经完全混乱了 老师没教就让我们做题 现在对一些题目总会理解错

这里有一道题目: f(x)是在(0，正无限大)上的减函数 要满足f(x)<f(2x-3) 则x的取值范围是 (我想问的问题: 复合函数的概念能不能给我说说 详细一点 上面这道题目看不懂 最后答案是 3>x>3/2 我不明白 上面 三个函数的表达的意义是什么 第一个说是函数 那后面两个为什么会有大小关系 不是应该是某一个确切的点么..我现在对概念完全混乱了 所以来求解 反正很乱 就帮我解释复合函数 和 上面这道题)

Answer 1

因为f(x)的定义域在0到负无穷 所以可列出x大于0 2x-3大于0 可解得x大于3/2
且在定义域上市减函数 所以x大于2x-3 解得x小于3 综上 可得出你的最后答案

关于复合函数的问题 其实关键是技巧能不能掌握 这里有一个口诀 增增为增 减减为增 增减为减 具体的意思就是 比如复合函数m(x)=g(f(x)) 如果在定义域内 知道了g(x)和f(x)的单调性 即可利用口诀得出复合函数m(x)的单调性 复合函数多半是从这个角度去考察你的 特别是后期二次函数与指数函数、对数函数构成的复合函数 只要弄清楚真正的定义域、值域、单调性 题目基本上可以秒杀 还要注意 g(x)的定义域相当于f(x)的值域 这点很重要

祝楼主学有所成~

Answer 2

复合函数就是函数的自变量也是一个函数，例如假设f(x)=2x-1，那么f(2x-3)就是令f(x)表达式中的x为2x-3,即f(2x-3)=2(2x-3)-1=4x-7.其余类推,如f(cosx)=2cosx-1
f(x)是表示当x(这里x也可以为函数，如2x-3,此时就是复合函数了）取定一个值时f(x)的相应取值，是表示函数值,是数轴上的一个点。而(x,f(x))才表示平面上的一个横坐标为x,纵坐标为f(x)的一个点。
因为f(x)的定义域为（0，+∞），所以应使f(x)的自变量大于零，在f(x)中自变量为x,所以此时x的第一个取值范围应该为x>0.而在f(2x-3)中，自变量为2x-3,所以应有2x-3>0,所以x的第二个取值范围为x>3/2.因为f(x)为减函数，所以要使f(x)<f(2x-3),则应有x>2x-3,所以x的第三个取值范围为x<3
所以x的最终取值就是以上3个取值范围的交集，即x的取值范围为3/2<x<3

追问

那当里面得自变量x用其他得复合函数来带入后 那岂不是连之后得解析式都变了么。 那也就是说 这道题就好像问你 1/x>2x+1时x的范围一样么

追答

复合函数最终的表达式和最初始的表达式是有所变化，例如假设f(x)=2x-1，那么f(2x-3)就是令f(x)表达式中的x为2x-3,即f(2x-3)=2(2x-3)-1=4x-7.但此时f(x)仍然等于2x-1。你可以设y=2x-3，那么题目就是问什么时候f(x)y=2x-3,即x>2x-3,且根据定义域应有x>0,y>0

追问

那我上面的理解算对么

追答

那个表达式变了这句话是对的，但是那个1/x=2x+1我就不知道你是怎么来的

追问

我就是想说是不是另一个函数大于原本的f（x）

追答

是的啊，题目要求的就是当新函数（即f(2x-3))值大于原函数值时x的取值

Answer 3

令2x-3=t t>0 解得x>2\3
又因为f(x)是减函数 所以x>2x-3 解得x<3
综上所述3>x>3/2

解复合函数就是把f(x)括号里面的用t来换
比如这题，令2x-3=t 那么f(2x-3)=f(t)
把括号里面的看成整体，f(t)形如f(x)
就应该满足题意 f(x)是在(0，正无限大)上的减函数
此时的t相当于f(x)中的x 满足x>0的条件得t>0
又因为f(x)是减函数，所以f(x)<f(2x-3)中括号里的整体，前者大于后者即x>2x-3
解不等式即得所求

解答完毕 希望你能看懂

Answer 4

复合函数就是某个函数y=f(u) 而u=k(x)
复合得 y=f(k(x))。就是说u是函数y的自变量，而u自身也是一个函数，u的自变量是x。
此时复合即把u看成中间变量，那么在f(u)用u的自变量x代替u即得f(k(x)).
但此时要注意定义域的转化。比如u满足(0,正无限大) 那么此时替换u的k(x)就要满足0<k(x)<正无穷.
就你的题目举例
f(x)<f(2x-3)

如果你一步看不清就先把2x-3看成u f(x)<f(u) 因为f(x)是在(0，正无限大)上的减函数
所以有x>u 也即x>2x-3 得3>x. 再考虑定义域 0<u<正无穷 替换u 0<2x-3<正无穷
得x>3/2
于是3>x>3/2

Answer 5

函数是有自变量和因变量的，在X取的一定值后，2X-3亦取的一定值，所以X是自变量，f(x)是因变量，f(2x-3) 是先由X复变为2X-3，在以2X-3为自变量，按照映射f形成复合函数f(2x-3) ，本题由单调性出发得出X>2X-3，且由定义域要求有X>0,2X-3>0,的出结论。
令，函数类问题主要靠理解，理解好自变量通过映射f到应变量这样的一种动态关系。