Question

求幂级数∑【n=0 to 无穷】(x^n)/{n[3^n+(-2)^n]}的收敛域 答案是[-3,3),求过程换个解释

Answer 1

综述

首先确定收敛半径，这个直接用书上的公式，两项相除求极限就可以了，极限是3，所以收敛半径R=3。

现在再来看端点处的熟练情况，x=3的时候就掠过啦，现在来说x=-3的情况，这是交错级数，一般的书上只给了一个定理，现在就用这个定理来解答。

首先，an的绝对值的极限是0，现在来做差a(n+1)-an，通分，判断分子的正负，分子好像能化简成-3+(5n+1)(-2/3)^n，这里需要判断后面一项的极限。

其实后面一项的极限是0(方法就是把-2/3放到分母上去，这就变成了无穷/无穷的不定式极限了，直接用罗比达法则就可以了)。

所以a(n+1)-an<0，定理的第二个条件也满足了，所以在x=-3处条件收敛。

收敛域是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具。

经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛。绝对收敛，指的是不论条件如何，穷国比富国收敛更快。

条件收敛，指的是技术给定其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。

Answer 2

首先确定收敛半径，这个直接用书上的公式，两项相除求极限就可以了，极限是3，所以收敛半径R=3
现在再来看端点处的熟练情况，x=3的时候就掠过啦，现在来说x=-3的情况，这是交错级数，一般的书上只给了一个定理，现在就用这个定理来解答；
首先，an的绝对值的极限是0
现在来做差a（n+1）-an，通分，判断分子的正负，分子好像能化简成-3+（5n+1）（-2/3）^n，这里需要判断后面一项的极限，其实后面一项的极限是0（方法就是把-2/3放到分母上去，这就变成了无穷/无穷的不定式极限了，直接用罗比达法则就可以了）
所以a（n+1）-an<0，定理的第二个条件也满足了，所以在x=-3处条件收敛
差不多就这样吧，我也忘了好多了

追问

啊？x=3的时候咋整来着？具体点呗，俺人笨呐

追答

x=3，此时这个是正项级数，其中还有部分因子（-1）^n，导致不好判断，我们可以取其中的奇数项来判断，奇数项是∑3^(2n+1)/(2n+1)【3^(2n+1)-2^(n+1)】>∑1/(2n+1)>1/2*∑1/(n+1)，这后面一个求和就是我们常见的级数求和了，显然这个级数是发散的，进一步根据正项级数的比较法则a>b，若b发散则a必然发散，所以原级数必然发散(因为缩小之后的级数是发散的)
这只是我自己的观点，你看一下吧，我好久没学生疏了