Question

x3+px2+qx+1=0 有三个实根，p大于0，q大于0 证明：pq大于等于9

注意题目 没说 p，q是正整数 请解析 别复制粘贴
这是南大自主招生题 是不是题目有问题 感觉无法排除2正一负跟的情况

Answer 1

设方程的三个实根分别为 x1、x2、x3 ，则由韦达定理得
x1+x2+x3= -p ， （1）
x1x2+x2x3+x3x1=q ， （2）
x1x2x3= -1 ， （3）
（2）/（3）得 1/x1+1/x2+1/x3= -q ，
（1）*（3）得 p*q=(x1+x2+x3)(1/x1+1/x2+1/x3) ，
由 x^3+px^2+qx+1=0 及 p>0，q>0 可得，方程的根全为负数（不可能为正，否则左边为正数，右边为零），
所以，由柯西不等式得 p*q=[(-x1)+(-x2)+(-x3)]*[1/(-x1)+1/(-x2)+1/(-x3)]>=9 。

追问

由 x^3+px^2+qx+1=0 及 p>0，q>0 可得，方程的根全为负数（不可能为正，否则左边为正数，右边为零）
为何 你怎么排除2正一负的
哦我知道了谢谢

追答

因为如果 x>0 ，则 x^3+px^2+qx+1>0 ，所以正数不满足方程 。