Question

已知定义域为R的函数f(x)=b-2^x/a+2^x是奇函数, (1))求a,b值 (2)证明函数f(x)在R上是减函数 (3)若对于任意

t属于R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立，求k的范围

Answer 1

解：
⑴
∵f(x)是奇函数
∴f(0)＝0，得b＝1
且f(－1)＝－f(1)，
即(1－2^(－1))/(a＋2^(－1))＝－[(1－2)/(a＋2)]
解得a＝1

⑵
由⑴知：
f(x)＝(1－2^x)/(1＋2^x)＝[－(2^x＋1)＋2]/(1＋2^x)＝－1＋[2/(1＋2^x)]
任取x1，x2∈R，且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝[2/(1＋2^x1)]－[2/(1＋2^x2)]＝[2(2^x2－2^x1)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]
∵x1＜x2
∴2^x1＜2^x2，则2^x2－2^x1＞0
且(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0
∴f(x1)－f(x2)＞0
即f(x1)＞f(x2)
∴函数f(x)在R上是减函数

⑶
f(t^2－2t)＋f(2t^2－k)＜0
即f(t^2－2t)＜－f(2t^2－k)＝f(k－2t^2) 【奇函数】
即t^2－2t＞k－2t^2对任意t∈R恒成立 【减函数】
即k＜3t^2－2t对任意t∈R恒成立
只需k＜[3t^2－2t]min即可
∵3t^2－2t＝3(t^2－2/3t)＝3(t－1/3)^2－1/3
当t＝1/3时，有最小值－1/3
∴k＜－1/3
∴k的取值范围为(－∞，－1/3).

Answer 2

1. 求出来a=1 b=1 怎么求的话，就根据奇函数的性质，f(x)=-f(-x)。你把式子列出来就知道了，这里不好表示。

2. 因为f(x)=1-2^x/1+2^x 设X1＞X2 然后用f(X1)-f(x2) 然后你通分解得这个式子小于零，就说明在R上为减函数

3. 因为是为减函数，所以f(2t^2-k)=-f(-2t^2+k) 所以f(t^2-2t)＜f(-2t^2+k) 所以t^2-2t＞-2t^2+k 得3t^2-2t-k＞0 开口向上要恒大于0 △＜0 解得k＜负三分之一
   

Answer 3

任务路过