Question

已知f(X)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1.当a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0

已知f(X)是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1.当a,b∈[-1，1]，a+b≠0时，有[f(a)+f(b)]/(a+b)＞0
(1):判断函数在其定义域上是增函数还是减函数,并证明之。
(2):若把定义域和函数值相同的函数叫同域函数，判断函数是否是同域函数？

Answer 1

(1),f(x)在定义域内为增函数
设x1>x2,x1,x2都属于【-1,1】
由于f（x）为奇函数，f(-x)=-f(x),f(0)=0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2);
由于[f(a)+f(b)]/(a+b)>0
得出[f(x1)+f(-x2)]/(x1-x2)>0 -x2∈[-1,1]
由于x1-x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)为增函数
(2)因为f(x)是增函数
所以，当x=1时，f(1)=1
当x=-1时，f(-1)=-f(1)=-1

∴f(x)max=1，且f(x)mix=-1
f(x)的值域是-1≦f(x)≦1 而f（X)的定义域是[-1,1]
所以，这个函数一定是同域函数。

追问

得出[f(x1)+f(-x2)]/(x1-x2)>0 -x2∈[-1,1]
由于x1-x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0
不明白

追答

因为我设在[-1,1]取x1，x2 且x1>x2 所以x1-x2>0
f(x1)+f(-x2) 变成 f(x1)-f(x2)
是因为 他是一个奇函数。有这个性质： F(-x)=-f(x)
f(-x2)=-f(x2)

Answer 2

1，
f(x)是奇函数，
∴f(-x)=-f(x)
设-1≦x1<x2≤1
∴x1-x2＜0
根据定义，
[f(x1)+f(-x2)]/(x1)+(-x2)＞0
[f(x1-f(x2)]/(x1-x2)＞0
∴f(x1)-f(x2)＜0
因此，f(x)是增函数。

2，当x=1时，f(1)=1
当x=-1时，f(-1)=-f(1)=1
又，f(x)是增函数，
∴f(x)(max)=1，且f(x)(mix)=-1
即是，-1≦f(x)≦1
因此，这个函数一定是同域函数。