Question

怎么去绝对值？

高一问题， 当｜m－1｜＞｜m｜时m的取值为何？绝对值怎么去掉的

Answer 1

去绝对值有三种方法。
①传统的分类讨论。
原理：绝对值的原始定义|a|=a(a≥0)或者-a(a<0)。这样，对绝对值里面的内容，分类讨论是正是负，用原始定义去掉。
优点：普适性强，对于所有的绝对值问题都可以用。
缺点：有时候过程很长，情况很多，计算比较麻烦。

这道题：绝对值里面的又m-1和m两个式子，分别讨论正负。也就是把m分三种情况：m<0，0≤m<1，m≥1。
1)m<0的时候，m-1和m都是负的，按照原始定义去掉绝对值，都加负号，就是1-m>-m解出不等式1>0是个恒成立的不等式，因此m<0都可以。
2)0≤m<1，这时候m-1还是负的，但m非负，因此去掉m-1的绝对值需要加负号，而去掉m不需要加。也就是1-m>m也就是m>1/2，但是别忘了我们的大前提是0≤m<1的时候，因此最终m范围应该是0≤m<1/2
3)当m≥1的时候，m-1、m均是非负的，因此绝对值都直接去掉。
m-1>m得到-1>0又是个矛盾的不等式，因此不合题意。
综上，范围是m<0或者0≤m<1/2，也就是m<1/2。

注：顺便说一句，数学里面所有的分类讨论问题（不光是绝对值问题）的步骤
(1)按照题意分出情况1、情况2……情况n，它们必须“不重不漏”，意思是任何情况i和情况j(i≠j)不能有公共部分，而且所有情况1到情况n并起来应该是你研究的问题的全部可能范围。
比如这道题，全部可能范围是m∈R（全体实数），分出的情况：m<0，0≤m<1，m≥1是3个，它们满足了互相没有公共部分，而且并起来就是R。如果你分成m≤0，0≤m≤1，m≥1就错了，因为违背了“不重”原则，m=0，m=1被重复讨论。还有如果分成m<0，0≤m<1也错了，因为违背了“不漏”原则，m≥1也是可能的范围，没有包含进去。
(2)之后对于每个情况i，求出一个解，别忘了和情况i的前提条件取一个交集，才是这种情况下的最终解s[i]。比如这道题第2情况，你要是算出m<1/2以后不和大前提0≤m<1取交集，就错了。
(3)全部问题的最终解是把所有单一情况下的最终解求并集∪s[i]。
注意，我上面说的错的情况，最终算出的答案也许都对，但是数学思维严谨性上就不对了，或者这道题对但是其他题就不一定了。

②（终于第二种去绝对值的方法了）平方法。
原理：绝对值的等价定义|a|=√a²，或者|a|²等价于a²。
优点：直接去除绝对值。
缺点：普适性差，只能用于等式或不等式两边只有1个绝对值式子的情况。
这道题：|m-1|>|m|等价于(m-1)²>m²等价于m²-2m+1>m²也就是-2m+1>0，m<1/2直接就算出来了。
注：如果改一下题，是2|m-1|>|m|还能这样两边平方算。再改一下|m-1|>|m|+m这就不能两边平方了，去不掉绝对值，而且不等价。可见这种方法虽然简单，但是普适性差。

③几何法。
原理：绝对值的几何意义，是表示数轴上的点与原点之间的距离。那么|a-b|就表示数轴上点a到b的距离。
优点：形象直观，处理简单问题很方便。
缺点：普适性最差，比②还差，只能处理很小的一部分问题。
这道题：问的就是数轴上到1的距离比到原点距离大的点有哪些？楼主自己画个数轴，很容易看出只要m在1和0的中点1/2的左边，一定能满足，也就是m<1/2直接就观察出来了。
注：改一下题，就算2|m-1|>|m|用几何法就不好看了，何况更复杂一点的|m-1|>|m|+m就更不行了。但是这些更复杂的形式，用第一种分类讨论法都可以解。

楼主给的题目正好可以用这三种方法做，很不错。
楼主如果有耐心看到这的话感谢一下楼主……我总结了一下去绝对值的方法（当然不一定完整，只是我现在能想到的）以及分类讨论思想，具体题目不重要，关键是数学思维要掌握。

追问

可恨纳 没能采纳你 采纳过后才看到又添了一个回答 --# 分组讨论 很繁琐，复杂的问题还容易漏掉条件，老师讲了几何法 方法都学习了 具体题目不重要，关键是数学思维要掌握！！！！！！！！！

追答

没事~
那个两边平方应该也挺常用，尤其在解析几何里面。我记得好像高中推导圆锥曲线的方程的时候就要用。

Answer 2

如果绝对植内的值为正数，则直接去掉，如｜12－3＊3｜则为｜3｜，可直接去，为3
如果绝对值中的值为负数，则去掉时添上括号，在括号前添负号，如｜1999－X｜，（X＞1999）则为－（1999－X）

Answer 3

分情况讨论
当m>1时，不等式转化为m-1>m推出-1>0，不成立。
当0<m<1时，不等式转化为1-m>m算出m<1/2,所以0<m<1/2.
当m<0时，不等式转化为1-m>-m算出1>0,恒成立。
综上所述 m<1/2