Question

如图,△ABC和△A'B'C'中AC=A'C'=3,BC=B'C'=4,AB=A'B'=5,将C'与C重合，△A'B'C'绕着点c旋转，

旋转过程中，A'C'交AB于点E，A'B'交AB于点F，交BC于点D,(1)当A'C'⊥AB时，判断△C

DB和△ACD的形状
（2）当EC=AE时，求此时AE的值
第一问是判断 △C’DB'与△A'C'D的形状

Answer 1

解：（1）
∵在△ABC和△A'B'C'中AC=A'C'=3,BC=B'C'=4,AB=A'B'=5,
∴RT△ABC≌RT⊿A'B'C'
∴∠A=∠A',∠B=∠B',∠ACB=∠A'C'B'=90°
∵A'C'⊥AB
∴∠A+∠ACA'=∠ACA'+∠A'C'B=∠A'C'B+BCB'=∠A+∠B=90°
∴∠A=∠A'C'B,∠ACA'=BCB'=∠B
∴∠A'=∠A'C'B,∠BCB'=∠B'
∴CD=A'D,CD=B'D
∴D为A'B'的中点，C'D=A'B'／2=5／2≠A'C'
∴△C’DB'与△A'C'D均为等腰三角形
（2）
当EC=AE时，∠A=ACE
∵∠A+∠B=90°,∠ACE+∠ECB=90°
∴∠B=∠ECB
∴EC=EB
∴AE=EC=EB=AB／2=5／2
即AE的值为5／2

Answer 2

解：（1）∵32+42=52，
∴△ABC，△A′B′C′都是直角三角形，且△ABC≌△A′B′C′．
∴∠B=∠B′．
当A′C′⊥AB时，由旋转可知∠ACE=∠B′CB，
由互余关系可得∠ACE=∠B，
∴∠BCB'=∠B′，
∴∠BCB'=∠B，
∴△C′DB′是等腰三角形．
同理得△A′C′D也是等腰三角形．

（2）△ACE为等腰三角形，有三种可能．
①当AE=AC时，AE=AC=3；
②当AE=EC时，E点为线段AB的中点，AE=12AB=2.5；
③当AC=CE时，过C点作AB边上的高CM．
由面积法得CM•AB=AC•BC，
∴CM=2.4，
∴AM=AC2-CM2=1.8，
∴AE=2AM=3.6．
故AE=3或2.5或3.6．