Question

如图16,△ABC是边上为4的等边三角形,点O在边AB上，圆O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，

如图16,△ABC是边上为4的等边三角形,点O在边AB上，圆O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F。
⑴求证：直线EF是圆O的切线；
⑵当直线DF与圆O相切时，求圆O的半径

Answer 1

⑴ 连接OE。已知∠B=60º、 又OB=OE，故OBE为等边三角形，得∠OEB=60º。
在直角⊿EFC中：∠FEC=90º-∠C=90º-60º=30º。
得∠OEF=180º-∠OEB-∠FEC=180º-60º-30º=90º.
所以：直线EF是圆O的切线。
⑵ 由题意知∠ADF=90º，且DF=EF(圆外的一点向圆作的两条切线相等)，又∠A=∠C；
故⊿ADF≌⊿CFE，则AF=CE=2CF。
得AC=AF+CF=2CF+CF=3CF， CF=1/3AC=4/3， AD=CF=4/3。
BD=AB-AD=4-4/3=8/3,
圆O的半径=BD/2=4/3 。

Answer 2

1）
∵三角形ABC是等边三角形
∴<B=60º
∵B，E都是圆O上的点
∴OB=OE
∴三角形BOE是等边三角形
∴<OEB=60º=<C
∴OE//AC
∵EF⊥AC
∴EF⊥OE
而OE是圆O的半径
∴EF是圆O的切线
2）若 DF是圆O的切线
则DF⊥AB
设圆O的半径为 R
∵AB=4
∴AD=4-2R
在直角三角形ADF中，<A=60º
∴AD=1/2AF
又在直角三角形CEF中
CE=4-R
<C=60º
∴CF=1/2CE=1/2(4-R)
那么 AF=4-CF=4-1/2（4-R)=2+R/2
∵AD=1/2AF
∴4-2R=1/2(2+R/2)
8-4R=2+R/2
12-8R=R
9R=12
∴R=4/3