Question

已知点P是正方形ABCD内的一点，连结PA、PB、PC。

已知点P是正方形ABCD内的一点，连结PA、PB、PC。
（1）如图1，将△PAB绕点B沿顺时针方向旋转90°到△P'CB的位置。
①设AB的长为a，PB的长为b(b＜a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中，边PA所扫过区域（阴影部分）的面积。
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长。
（2）如图2，若PA^2+PC^2=2PB^2，请说明点P必在对角线AC上。

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Answer 1

解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，

∴△PAB≌△P'CB，

∴S△PAB=S△P'CB，

S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=π /4 (a^2-b^2）；

（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，

∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，

∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P^2=PB^2+P'B^2=32；

又∵∠BP′C=∠BPA=135°，

∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．

PC=根号（P′P^2+P′C^2)=6．

2.]将三角形ABP绕B旋转90度至三角形CBQ

所以有ABP与CBQ作等，AB=CQ，三角形PBQ是等腰直角三角形，PQ=根号2PB

因为PA^2+PC^2=2PB^2

所以CQ^2+PC^2=PQ^2

所以角PCQ=90度

所以角PCB+BCQ=PCB+PAB=90度

若点P在三角形ABC内如点P'

必有角P'AB+P'CB<90度

若点P在三角形ABC外,则有角PAB+PCB>90度

所以点P必在对角线AC上.

Answer 2

BCP'与BAP全等，将CP'部分阴影移至AP部分得到
阴影面积=pi/4 (a^2 - b^2)

三角形APB，余弦定理
AB^2=4+16-2*2*4cos135 = 20+8sqrt(2)

AB/sin135 = PA/sinABP
sinABP = PA/AB*sin135
cosPBC=sinABP
PC^2 =BC^2 + BP^2 - 2BC*BP*cosPBC = AB^2 + BP^2 - 2*AB*BP*PA/ABsin135
=20+8sqrt(2)+16 - 2*2*4/sqrt(2) = 36
PC = 6

(2)
作PD，PE垂直于AB，BC
PA^2 = PD^2 + (AB-PE)^2
PB^2 = PD^2 + PE^2
PC^2 = PE^2 + (BC-PD)^2
PA^2+PC^2=2PB^2
PD^2 + (AB-PE)^2 + PE^2 +(BC-PD)^2 = PD^2 + PE^2 + 2AB^2 - 2AB(PE+PD)+ PE^2 + PD^2 = 2PB^2 = 2(PD^2+PE^2)
AB = PD+PE
PDBE矩形的长短边和=AB
所以P在AC上