Question

数学函数题，求解答

f（x）定义域为0到正无穷。当X属于（0，1）时，f（x）<0 。则以下哪个条件能使f（x）为增函数。
1，f（xy）=f（x）f（y）
2，f（xy）=f（x）+f（y）
3，f（x+y）=f（x）+f（y）
4,f(xy)=f(x)+f(y)。
希望高手能把每一条证明一下，万分感谢！！。。不好意思 没分了。。

Answer 1

1、不可以。如 f(x)= -x 是减函数。
2、可以。证明如下：
设 0<x1<x2 ，则 f(x1)-f(x2)
=f[x2*(x1/x2)]-f(x2)
=f(x2)+f(x1/x2)-f(x2)
=f(x1/x2)
因为 0<x1<x2 ，则 0<x1/x2<1 ，
所以 f(x1/x2)<0 ，即 f(x1)<f(x2) ，
因此 函数为（0，+∞）上的增函数。
3、不可以。如 f(x)= -x 是减函数。
4、可以。（这不就是 2 么）

追问

第四个是f（x+y）=f（x）f（y）。感谢了，

追答

这个是指数函数的特征，疑似不能使 f(x) 为增函数。但本人能力所限，举不出反例。