Question

以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外做等边△ACD、等边△ABE。已知角BAC=30°，EF⊥AB.1.证明DF∥AE且DF=AE

Answer 1

因为三角形ACD.ABE是等边三角形，所以AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=60°。
因为AC⊥BC，EF⊥AB，所以∠ACB=∠AFE=90°。
因为EF⊥AB，由三线合一，得：EF是∠AEB的平分线。所以∠AEF=30°。
因为∠BAC=30°，所以∠AEF=∠BAC。所以△ACB与△EFA全等（AAS）。
所以EF=AC。所以EF=AD。
因为EF⊥AB，所以∠AFE=90°。又因为∠DAB=∠DAC+∠BAC=60°+30°=90°。
所以∠AFE=∠DAB。所以AD//EF。所以四边形ADFE是平行四边形。所以AE=DF，AE//DF。

Answer 2

证明：因为 三角形ACD是等边三角形，
所以 角DAC=60度，
因为 角BAC=30度，
所以 角DAB=90度，DA垂直于AB，
因为 EF垂直于AB，
所以 AD//EF，
因为 三角形ABE是等边三角形，
所以 角EAB=60度，
所以 角EAC=90度，
又因为 角ACB=90度，
所以 AE//CB，
因为 三角形ABE是等边三角形，EF垂直于AB，
所以 F是AB的中点，
连结CF，则CF=AF，
又因为 AD=CD，
所以 DF是AC的垂直平分线，
所以 DF//CB，
所以 DF//AE，
因为 DF//AE，AD//EF，
所以 四边形ADFE是平行四边形，
所以 DF=AE。

Answer 3

在Rt△ABC中，∠BAC=30°
∴∠ABC=60°
∵△ACD、△ABE是等边△
∴∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°
AB=AE
AC=AD
∵EF⊥AB，即∠AFE=90°
∴△AEF是直角三角形
在Rt△ABC和Rt△AEF中
AE=AB
∠FAE=∠ABC=60°
∴Rt△ABC≌Rt△AEF
∴EF=AC=AD……（1）
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°
∴∠DAB=∠AFE
∴AD∥EF……（2）
∴四边形ADFE是平行四边形（一组对边平行且相等）
即DF∥AE且DF=AE

Answer 4

教你一个方法，连接ADEF. 根据所给的条件证明出AD=EF, AE=DF, 四边形ADEF是平行四边形。 就可以推出你要的结论了。