Question

如图，在三角形ABC中，角BAC=90度，AD垂直BC于D，BE平分角ABC交AD于F，交AC于E，求证AB^2-AE^2=BF*BE(谢谢

Answer 1

AB^2-AE^2=BF*BE
等价于BE^2-AE^2-AE^2=BF*BE
等价于2AE^2=BE*EF
等价于2AE/EF=BE/AE---------------------*
设角EAF=a，则角AFE=角ABF+角BAF=a/2+90-a=90-a/2
角AEF=90-角ABE=90-a/2
所以角AEF=角AFE
所以AE=AF

则2AE/EF=AE/(EF/2)=1/cos(90-a/2)=1/sin(a/2)
BE/AE=1/cos角AEB=1/cos(90-a/2)=1/sin(a/2)
即*式成立
综上，AB^2-AE^2=BF*BE

追问

谢谢，厉害！能不用三角函数，只用直角三角形定理相关内容证明吗

追答

上面解答有两段
对于第二段：
过A做AK垂直于BE，垂足为K
易证三角形AKE相似于三角形BAE
则2AE/EF=AE/(EF/2)=BE/AE