Question

函数f(x)=(x^2+ax+b)/x,∈[1,+∝).(1)当a=2,b=4时，求f(x)的最小值;

(2）当b=1/2,对任意x∈[1,+∝),f(x)＞0恒成立，求实数a取值范围

Answer 1

1）f(x)=x+4/x+2
因为x∈[1,+∞）
则f(x)>=2根号下（x*4/x)+2=6
当且仅当x=4/x即x=2时取得最小值
则f(x)最小值为6
2）f(x)=x+1/2x+a>0恒成立
则a<-x-1/2x
因为g(x)=x+1/2x在[1,正无穷）单调递增
则g(x)>=g(1)=3/2
所以-g(x)<=-3/2
则要使得题意中式子恒成立
则a<=-3/2

追问

"g(x)=x+1/2x在[1,正无穷）单调递增"这是个对号函数么，我没还没学它的图像，怎样知道它单调递增的呢？

追答

你好这个是个双钩函数，这个函数的性质要记住，经常考的。
考试的时候这些结论在大题中不要直接用，要推导
这个的单调性你用定义来求即可啊
令x2>x2>=1
则g(x2)-g(x1)
=x2-x1+(x1-x2)/2x1x2
=(x2-x1)(1-1/2x1x2)>0

Answer 2

首先f(x)=ax+b/x，再x＞0时，最小值为2√ax·b/x，所以第一问中，f(x)=x+4/x+2最小值为6。
第二问式子化为a＞-（x+1/2x），最后a＞-√2