Question

一道高中数论问题

求所有的正整数a,b使得a|b^2,b|a^2且a+1|b^2+1

Answer 1

不妨设a>=b
则a^2>=b^2>=b 那么除了a=1外 b|a^2是不可能的。
从而b=1
a+1=2 b^2+1=2 a+1|b^2+1是成立
所以a=1 b=1

追问

不对吧，例如a=n^2,b=n时恒满足啊

追答

a|b^2,b|a^2 这二个要同时满足哦。

追问

整除的定义不是这样的吧，如2|4，
a=4,b=2

追答

写错了。
由a|b^2,b|a^2 知a=b (b=at ,a=bk)
b^2+1=(a+1)s
b^2+1=(b+1)s
b^2+2b+1-2b=(b+1)s
(b+1)^2-2b=(b+1)s
b+1-2b/(b+1)=s
则2b/(b+1)=整数。
而(b,b+1)=1从而只有b+1=2才能成立。得b=1
a=1